[알고리즘] 최장 증가 부분 수열(LIS) 알고리즘

📌 최장 증가 부분 수열(LIS, Longest Increasing Subsequence)란?

원소가 n개인 배열의 일부 원소를 골라내서 만든 부분 수열 중, 각 원소가 이전 원소보다 크다는 조건을 만족하고, 그 길이가 최대인 부분 수열을 최장 증가 부분 수열이라고 합니다.

• 예를 들어, { 6, 2, 5, 1, 7, 4, 8, 3} 이라는 배열이 있을 경우, LIS는 { 2, 5, 7, 8 } 이 됩니다.
• { 2, 5 }, { 2, 7 } 등 증가하는 부분 수열은 많지만 그 중에서 가장 긴 것이 { 2, 5, 7, 8 } 입니다.

🔍 일반적으로 최장 증가 부분 수열의 길이가 얼마인지 푸는 간편한 방법은 DP를 이용하는 것입니다.

아래에서 length[i] 는 i번째 인덱스에서 끝나는 최장 증가 부분 수열의 길이를 의미합니다.

for (int k = 0; k < n; k++){
	length[k] = 1;
    for (int i = 0; i < k; i++){
        if(arr[i] < arr[k]){
            length[k] = max(length[k], length[i] + 1);
        }        
    }
}

주어진 배열에서 인덱스를 한 칸씩(k+=1) 늘려가면서 확인합니다. 그리고 내부 반복문으로 k보다 작은 인덱스들을 하나씩 살펴 보면서 arr[i] < arr[k]인 것이 있을 경우, length[k] 를 업데이트합니다.

업데이트 하는 기준은,

• (1) i번째 인덱스에서 끝나는 최장 증가 부분 수열의 마지막에 arr[k]를 추가했을 때의 LIS 길이와
• (2) 추가하지 않고 기존의 length[k] 값
• 둘 중에 더 큰 값으로 length[k] 값을 업데이트합니다.

그런데 위 알고리즘의 시간복잡도는 O(n^2) 입니다. 인풋 값이 백만 개 정도만 되어도 O(n^2)의 알고리즘은 실행시간이 10초 이상 소요된다고 알려져 있습니다.

출처

2565번: 전깃줄

문제

두 전봇대 A와 B 사이에 하나 둘씩 전깃줄을 추가하다 보니 전깃줄이 서로 교차하는 경우가 발생하였다. 합선의 위험이 있어 이들 중 몇 개의 전깃줄을 없애 전깃줄이 교차하지 않도록 만들려고 한다.